El surgimiento de otras geometrías
En la tercera década del siglo XIX dos matemáticos, el ruso Nikolai Lobachevsky y el húngaro János Bolyai trabajaron de manera independiente en el problema con una idea nueva: tal vez el quinto axioma es independiente de los otros cuatro axiomas. Pero en este caso debería ser posible hacer geometría suponiendo que el quinto postulado es falso: por un punto fuera de una recta no pasa ninguna paralela o pasan más de una.
- En la geometría hiperbólica por un punto fuera de una recta pasa una infinidad de rectas paralelas.
- En la geometría elíptica por un punto fuera de una recta pasa ninguna paralela.
La geometría en la cual se basa el proyecto es la geometría hiperbólica.
Los hallazgos de Lobachevski y Bolyai no llamaron mucho la atención hasta que se encontraron modelos para estas nuevas geometrías. Con ello quedó establecido que realmente se pueden considerar geometrías diferentes a la que describió Euclides en Los Elementos.