El quinto axioma

Alrededor de 300 A.C. Euclides escribió el libro Los Elementos. En él se resumió gran parte de todo lo que se sabía hasta aquel entonces de las matemáticas. Lo sorprendente es que se formuló a partir de  cinco axiomas:

1. Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una línea recta.
2. Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente.
3. Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una circunferencia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos, y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de ese lado.

El quinto axioma es claramente más complicado. Como consecuencia del quinto axioma se tiene:

• Por un punto fuera de una recta pasa exactamente una paralela.
• La suma de los ángulos internos en cualquier triángulo es 180 grados.

Se puede demostrar que cualquiera de estas propiedades implica a su vez el quinto axioma. Es por ello que durante dos milenios se intentó derivar el quinto axioma como una consecuencia de los primeros cuatro, sin éxito.