Matemáticos afirman haber encontrado una tesela aperiódica

Matemáticos afirman haber encontrado una Tesela aperiódica

Texto de Isabel Hubard, fuente: ARXIV, Cornel University.

Para quien no esté familiarizado con el problema: se trata de encontrar conjuntos de piezas que teselen de manera aperiódica, es decir, que cubran todo el plano sin dejar huecos ni sobreponerse y que, no importa cómo lo hagas, la teselación que obtengas no tenga simetría de translación.

El problema de encontrar conjuntos aperiódicos es importante y famoso. Los primeros conjuntos que se encontraron contaban con algo como 20,000 piezas. Después se bajó el número a 96, luego a 6 y luego a 2. Un conjunto aperiódico de 2 piezas son las famosas flechas y papalotes de Penrose. Dicho conjunto fue encontrado en 1974.

El problema de encontrar un conjunto aperiódico con una sola pieza ha estado abierto por 50 años, ¡y parece que ya lo resolvieron!

El resultado en sí (de ser cierto, claro - el artículo aún no ha pasado por revisión por pares) es impresionante y emocionante.

Los autores de este descubrimiento son David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan y Chaim Goodman-Strauss.

Les invitamos a leer la nota del 20 de marzo de 2023 en:

https://arxiv.org/abs/2303.10798

[Submitted on 20 Mar 2023]

An aperiodic monotile

David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Strauss

A longstanding open problem asks for an aperiodic monotile, also known as an "einstein": a shape that admits tilings of the plane, but never periodic tilings. We answer this problem for topological disk tiles by exhibiting a continuum of combinatorially equivalent aperiodic polygons. We first show that a representative example, the "hat" polykite, can form clusters called "metatiles", for which substitution rules can be defined. Because the metatiles admit tilings of the plane, so too does the hat. We then prove that generic members of our continuum of polygons are aperiodic, through a new kind of geometric incommensurability argument. Separately, we give a combinatorial, computer-assisted proof that the hat must form hierarchical -- and hence aperiodic -- tilings.