Coloquio de Cuernavaca: 1 octubre de 2025

Resumen:

Los métodos variacionales surgieron como una respuesta al problema de encontrar mínimos de funcionales. Se trata de dar una condición necesaria y suficiente para la existencia del mínimo, así como condiciones que permitan su cálculo y algoritmos que nos permitan computarlo. El cálculo variacional está íntimamente ligado con la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales, ya que las condiciones de existencia de una solución al problema de minimización normalmente dependen de que dicha solución
satisfaga cierta ecuación diferencial.

Mi investigación gira en torno a extender los resultados clásicos del cálculo variacional a espacios métricos de medida, enfocándome en métodos asociados a la existencia y regularidad de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) no lineales parabólicas y elípticas. En lugar del caso clásico euclidiano, trabajamos puramente a nivel variacional en el marco de un espacio métrico de medida con medida doubling (doblante) y que satisface una
desigualdad de Poincaré.

En esta charla presentaré uno de los temas principales de mi investigación:  El flujo de variación total (TVF).

Durante las últimas dos décadas, se ha desarrollado en este entorno abstracto una teoría de funciones de Sobolev y de cálculo de primer orden. Una motivación central para desarrollar dicha teoría ha sido el deseo de unificar los supuestos y métodos empleados en diversos espacios
específicos, como los espacios euclidianos con peso, las variedades de Riemann, los grupos de Heisenberg, los grafos, etc.

El análisis en espacios métricos es hoy en día un campo activo e independiente, que reúne a investigadores de diferentes áreas del espectro matemático. Tiene aplicaciones en disciplinas tan diversas como la teoría geométrica de grupos, las EDPs no lineales e incluso en ciencias de la computación. Esto puede ofrecernos una mejor comprensión de los fenómenos y también conducir a nuevos resultados, incluso en el caso clásico euclidiano.