Coloquio del IMUNAM - C. U., agosto 2026

Resumen:

Los métodos variacionales surgieron como una respuesta al problema de encontrar mínimos de funcionales. Su objetivo es establecer condiciones necesarias y suficientes para la existencia de dichos mínimos, así como desarrollar herramientas y algoritmos que permitan calcularlos. El cálculo de variaciones está estrechamente relacionado con la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales, ya que las condiciones de existencia de una solución al problema de minimizaci ́on suelen depender de que dicha solución satisfaga una determinada ecuación diferencial.

Mi investigación se centra en extender resultados clásicos del cálculo de variaciones al contexto de los espacios métricos con medida, con énfasis en los métodos asociados a la existencia y regularidad de ecuaciones diferenciales parciales no lineales, tanto parabólicas como elípticas. En lugar del marco euclidiano clásico, trabajamos exclusivamente a nivel variacional en espacios métricos con medida dotados de una medida doblante y que satisfacen una desigualdad de Poincaré.

En esta charla presentaré una de mis principales líneas de investigación: El flujo de variación total (Total Variation Flow, TVF).

Durante las  últimas dos décadas se ha desarrollado, en este contexto abstracto, una teoría de funciones de Sobolev y un cálculo diferencial de primer orden. Una de las principales motivaciones para el desarrollo de esta teoría ha sido la búsqueda de un marco unificado que abarque los supuestos y métodos utilizados en diversos espacios específicos, como los espacios euclidianos con peso, las variedades riemannianas, los grupos de Heisenberg, los grafos, entre otros. Actualmente, el análisis en espacios métricos constituye un área de investigación activa e independiente que reúne a especialistas de distintas ramas de las matemáticas. Además de su interés intrínseco, tiene aplicaciones en campos tan diversos como la teoría geométrica de grupos, las ecuaciones diferenciales parciales no lineales e incluso la informática teórica. Este enfoque no solo permite comprender mejor diversos fenómenos matemáticos, sino que también puede conducir a nuevos resultados, incluso en el contexto clásico euclidiano.