Coloquio Oaxaqueño

Resumen:

A un grafo dirigido, o carcaj, se le pueden asociar distintas estructuras algebraicas, entre ellas el álgebra de caminos y el álgebra de conglomerado. Aunque estas álgebras tienen orígenes y objetivos distintos, en numerosos casos están estrechamente relacionadas y comparten un lenguaje geométrico común, dado por superficies trianguladas. En esta charla se introducirá el álgebra de caminos de un carcaj y su categoría de módulos, explicando cómo, para ciertas clases de álgebras, las triangulaciones permiten describir de manera explícita dichos módulos. Posteriormente, se abordarán las álgebras de conglomerado asociadas a superficies, donde las triangulaciones describen las transformaciones básicas de la teoría (conocidas como mutaciones) y las variables algebraicas asociadas.

Finalmente, se presentará un ejemplo desarrollado durante la Sexta Escuela de Invierno en Matemáticas en Oaxaca (2021), en el cual se observa cómo la ecuación de Markov aparece como una aplicación natural de este marco, a través del álgebra de conglomerado asociada a un carcaj particular, ilustrando la interacción entre combinatoria, geometría y álgebra.