Coloquio del IMUNAM - C. U. 7 mayo 2024

Resumen:

La técnica de forcing se ha consolidado como herramienta fundamental en la teoría de conjuntos. Dicho de manera muy poco exacta, esta técnica consiste en extender un modelo de (un fragmento de) la teoría de conjuntos de una manera análoga a la que se extiende un campo agregando una raíz de un polinomio. Los objetos que se agregan (llamados objetos genéricos) son subconjuntos de un conjunto (pre)ordenado, al cual se le llama noción de forcing. Las nociones de forcing de cardinalidad igual al continuo son las más utilizadas en la investigación de los números reales desde el punto de vista conjuntista. Un teorema de Alan Dow establece que cada noción de forcing con cardinalidad igual al continuo, es equivalente a un cociente de la potencia de N. Sin embargo, en general no se puede decir mucho sobre el ideal que lo induce.

De manera natural, la potencia de N es equipada con una topología que la hace homeomorfa al conjunto de Cantor. Con respecto a esta topología, los ideales pueden cumplir condiciones de regularidad, como pertenecer a algún estrato de la jerarquía de Borel o ser analíticos. Se considera definibles a los ideales que tienen alguna propiedad de regularidad. Hablaremos sobre la investigación que diversos autores han realizado sobre las propiedades de forcing de varios cocientes módulo ideales definibles.