Coloquio del IMUNAM - C. U., agosto 2025

Resumen:

Los procesos de difusión aparecen como hilos invisibles que conectan diversas teorías científicas y matemáticas. Desde la ecuación del calor en la física, hasta modelos en genética poblacional como el de Wright–Fisher o en matemáticas financieras como el de Black–Scholes, las difusiones nos permiten entender la evolución de sistemas sometidos al azar en tiempo y espacio continuo.

En esta plática daremos un recorrido por los procesos de difusión desde una perspectiva matemática, explorando su origen en las ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) y su reinterpretación probabilística a través del movimiento browniano y el cálculo estocástico. Veremos cómo estas dos visiones se entrelazan y enriquecen mutuamente.

Además, presentaremos una técnica reciente en esta vieja historia: el cambio de tiempo aleatorio. Las ecuaciones de cambio de tiempo son una generalización de las ecuaciones diferenciales ordinarias que se utilizan para transformar un proceso estocástico simple (como el movimiento browniano) en uno más complejo (por ejemplo, un proceso de difusión). Sin embargo, a diferencia del cálculo estocástico, son una herramienta trayectorial y que funciona fuera del contexto clásico de las semimartingalas markovianas.