Seminario de Becarios: septiembre 2026

Resumen:

La teoría analítica de números se distingue por su profunda capacidad para traducir el comportamiento discreto y aparentemente errático de las sucesiones aritméticas al lenguaje continuo del análisis complejo. En esta plática, exploraremos cómo la información global de estas sucesiones queda codificada en la estructura analítica de sus series de Dirichlet asociadas.

El hilo conductor de la exposición será la fórmula de inversión de Perron. Veremos cómo esta herramienta, al combinarse con el teorema del residuo y técnicas de integración de contorno, actúa como un puente que permite construir fórmulas explícitas exactas a partir de las singularidades de las funciones generadoras en el plano complejo.

En particular, analizaremos el papel protagónico de la función zeta de Riemann, $\zeta(s)$, ilustrando una fascinante dicotomía analítica a través de cuatro problemas clásicos. Primero, abordaremos las conjeturas de Mertens y Pólya, donde $\zeta(s)$ aparece en el denominador y sus ceros no triviales dictan las fluctuaciones oscilatorias de dichas funciones. En contraste, analizaremos el problema del círculo de Gauss y el problema de los divisores de Dirichlet; aquí, la presencia de $\zeta(s)$ en el numerador cambia radicalmente la naturaleza de las singularidades, originando fórmulas explícitas donde los términos principales emanan de los polos y el término de error está gobernado por familias de funciones de Bessel.