Seminario Nacional de Geometría Algebraica en línea

La regla general para las interacciones entre la geometría tropical y los espacios de módulos es, por supuesto, la siguiente: todo lo que se desee va a funcionar de maravilla en el género cero, y se descompondrá horriblemente en géneros superiores. Este es el caso de la teoría de la intersección tautológica de las clases psi, una clase de objetos fundamentales en la geometría de los espacios de módulos de curvas: la función generadora de sus números de intersección ha causado revuelo, juego de palabras intencionado, cuando se advirtió que es una función tau para la jerarquía KdV. Volviendo a la geometría tropical: en el género cero, las clases psi tropicales fueron definidas por primera vez por Mikhalkin a principios de los años 2000, luego, a través del trabajo de Kerber-Markwig y Katz, se demostró que los números de intersección de las clases psi tropicales concuerdan con sus contrapartes algebraicas.

En el trabajo con A. Gross y H. Markwig (2021), pudimos dar sentido a las clases psi tropicales en géneros superiores, al convertir el espacio de módulos tropicales de curvas en una pila para familias de curvas tropicales con una estructura afín. Esta es una teoría combinatoria que recupera los números de intersección algebraicos, pero que también puede producir resultados que no tienen una contraparte en la geometría algebraica. Con este fin, en un trabajo reciente con A. Gross respondemos a la pregunta de cuándo podemos demostrar que las clases psi tropicales son tropicalizaciones. Para poder siquiera dar sentido a la afirmación, tuvimos que introducir una noción de tropicalización para familias de curvas basadas en la teoría de Picard de la base.