Seminario Tardeada Aleatoria

Resumen:

En el año 1735, Leonhard Euler presentó la solución al célebre problema de Basilea, demostrando que ζ(2)=π^2/6. Más aún, obtuvo la fórmula general para evaluar la función zeta en todos los enteros pares ζ(2n). Sin embargo, para los enteros impares aún no existe una fórmula cerrada conocida. Esta asimetría resalta la extrañeza y el misterio que rodea a los valores de ζ(n) para enteros n>=2. En esta charla estudiaremos las partes fraccionarias (o "decimales") de estos números, descubriendo que esconden una distribución probabilística en su interior, lo que nos permite definir de manera natural una variable aleatoria X~FZeta con soporte en los enteros mayores o iguales a 2. Exploraremos la rica estructura de la distribución FZeta. Comenzaremos dándole una interpretación física exacta mediante un modelo de mezcla geométrica. Posteriormente, veremos cómo el cálculo de sus momentos y funciones generadoras se entrelaza de forma elegante con funciones especiales, dando una relación interesante entre los valores impares de Zeta y los momentos de esta variable aleatoria X. Finalmente, daremos un salto de la probabilidad discreta hacia el análisis continuo: ilustraremos cómo evaluar la probabilidad de que X pertenezca a conjuntos de interés aritmético (como los números primos) mediante integrales de Riemann-Stieltjes, tendiendo un puente probabilístico inesperado hacia problemas clásicos de la combinatoria aditiva. No se asumen prerrequisitos fuertes de teoría de números; todo lo relacionado será autocontenido.