Coloquio Oaxaqueño

Algunas estructuras algebraicas asociadas a un grafo dirigido

Astrid Carolina Melo López, IMUNAM

Miércoles 4 a las 9:00 horas

Resumen:

A un grafo dirigido, o carcaj, se le pueden asociar distintas estructuras algebraicas, entre ellas el álgebra de caminos y el álgebra de conglomerado. Aunque estas álgebras tienen orígenes y objetivos distintos, en numerosos casos están estrechamente relacionadas y comparten un lenguaje geométrico común, dado por superficies trianguladas. En esta charla se introducirá el álgebra de caminos de un carcaj y su categoría de módulos, explicando cómo, para ciertas clases de álgebras, las triangulaciones permiten describir de manera explícita dichos módulos. Posteriormente, se abordarán las álgebras de conglomerado asociadas a superficies, donde las triangulaciones describen las transformaciones básicas de la teoría (conocidas como mutaciones) y las variables algebraicas asociadas.

Finalmente, se presentará un ejemplo desarrollado durante la Sexta Escuela de Invierno en Matemáticas en Oaxaca (2021), en el cual se observa cómo la ecuación de Markov aparece como una aplicación natural de este marco, a través del álgebra de conglomerado asociada a un carcaj particular, ilustrando la interacción entre combinatoria, geometría y álgebra.

Sobre la clasificación de homeomorfismos pseudo-Anosov generalizados

Inti Cruz Díaz, IMUNAM, Oaxaca 

Miércoles 18 a las 13:00 horas

Resumen: 

La clasificación de los homeomorfismos pseudo-Anosov generalizados bajo conjugación topológica es un problema central en la dinámica y la topología de superficies, con una larga historia y diversos enfoques desarrollados por A. Zhirov, L. Mosher, M. Bestvina, M. Handel, J. Los, entre otros. En esta charla se presentará una breve revisión histórica del problema y se describirá una aproximación alternativa, iniciada por C. Bonatti, R. Langevin y E. Jeandenans, basada en el uso de particiones de Markov geométricas y de sus tipos geométricos. En este contexto, se introducirá la noción de clasificación y las distintas etapas que dicho proceso conlleva. Culminaremos esta presentación mostrando que el tipo geométrico es un invariante total  de  conjugación para homeomorfismos pseudo-Anosov generalizados, y que este hecho permite clasificarlos completamente.