Coloquio Oaxaqueño

Resumen: 

En su búsqueda de una armonía universal, el astrónomo Johannes Kepler encontró que la órbitas de los planetas de nuestro sistema solar describen curvas cónicas, más precisamente elipses, estando el Sol en uno de los focos (Astronomía Nova, 1609). Las curvas cónicas, que no son otras que las que se obtienen cortando un cono con un plano, se describen usualmente en geometría euclídea en términos de ecuaciones de segundo grado, o también como lugar geométrico de puntos del plano cuyas distancias a los focos suman constante. En esta plática vamos a recordar estas definiciones, veremos cómo la ley de Newton para la gravitación universal conduce a las leyes de Kepler, y veremos que las mismas aparecen también naturalmente en el clásico problema de tres cuerpos, en las llamadas órbitas homográficas de Lagrange.

Finalmente, vamos a discutir algunas conjeturas recientes sobre las propiedades que caracterizan estos movimientos entre todos los movimientos posibles.

Resumen:

Desde el siglo XIX, la teoría de las superficies de Riemann ocupa un lugar central en las matemáticas, uniendo el análisis complejo, la geometría algebraica e hiperbólica, la teoría de grupos y los métodos combinatorios.

Desde Riemann, Weierstrass, Schwarz, Klein, Hurwitz y Poincaré, entre otros, sabemos que una superficie de Riemann compacta es una curva compleja, donde el campo de fracciones de la curva es el campo de funciones meromorfas de la superficie de Riemann.  También sabemos que una superficie de Riemann puede ser vista como un cubriente (ramificado) de la esfera de Riemann y como el cociente del cubriente universal U —siendo U la esfera de Riemann (género 0), el plano euclídeo (género 1) o el plano hiperbólico (género al menos 2)— por un grupo discreto de difeomorfismos de U (el teorema de uniformización).