Coloquio Oaxaqueño

Sesión presencial

Resumen:

En su conferencia plenaria en el ICM de 1954, Eugenio Calabi popularizó un profundo problema en la confluencia de la geometría diferencial y la geometría algebraica, que pasó a conocerse como el problema de Calabi. Este problema pregunta qué variedades complejas compactas admiten un tipo especial de métrica de curvatura constante, conocida como métrica de Kähler-Einstein.

Para las variedades de Kähler de curvatura nula o negativa, el problema de Calabi fue resuelto en la década de 1970 por Yau y por Aubin y Yau. Estos resultados confirmaron la predicción de Calabi, al demostrar que tales variedades siempre admiten una métrica de Kähler-Einstein. Sin embargo, en el caso de las variedades proyectivas de curvatura positiva, conocidas como variedades de Fano, la existencia de una métrica de Kähler-Einstein no está garantizada.

En la última década han surgido conexiones sorprendentes y profundas entre la existencia de métricas de Kähler-Einstein y la geometría birracional, lo que ha conducido a importantes avances en el estudio del problema de Calabi. En esta charla presentaré el problema, explicaré sus vínculos con la geometría birracional y describiré el estado actual de la teoría en dimensión tres.