Estructuras convexas en conjuntos aleatorios de puntos

Resumen:

Esta plática es sobre resultados recientes que hemos obtenido alrededor del siguiente problema general. Sea K un conjunto (posiblemente convexo) acotado en el espacio euclídeo d-dimensional. (Nos restringiremos en la plática al caso de conjuntos en el plano). Si elegimos al azar n puntos de K: ¿cuál es el tamaño esperado de los "hoyos" convexos más grandes? Aquí un "hoyo" es un subconjunto de K que no contiene ninguno de los n puntos. El concepto de "tamaño" tiene más de una interpretación. En Geometría Convexa, nos interesa que los hoyos sean poliedros (convexos) cuyos vértices están en el conjunto de los n puntos; el tamaño es el número de vértices. En Topología Estocástica, nos interesa más bien el volumen del hoyo. También platicaremos sobre las conexiones de estos problemas con la dimensión Vapnik-Chervonenkis y los epsilon-nets.