Polinomios de Chebyshov y ecuación de Pell-Abel

En 1853 Chebyshov introdujo los polinomios que llevan su nombre. Les definió como los polígonos unitarios que se alejan menos del eje horizontal sobre un segmento. Se dio cuenta de que esos polinomios satisfacen una ecuación que resolvió Abel en 1826. Esa ecuación es la versión polinomial de la ecuación diofantina de Pell: \(P^2 - D Q^2 = 1\) en donde \(D\) es un polinomio dado y \(P,Q\) son las incógnitas. Chebyshov y sus estudiantes generalizaron en varias direcciones esos polinomios. En particular, estudiaron los polinomios que se alejan menos del eje horizontal sobre un unión de segmentos y mostraron que satisfacen la ecuación de Pell-Abel. Basándose en esos trabajos Achyeser dio en 1932 un método muy geométrico para describir todos los polinomios de Chebyshov, utilizando la uniformización de unos polígonos, llamados cepillos. Su trabajo lo llevo a introducir las superficies de Riemann en el estudio de ese problema.

En esa charla, empezaré presentando rápidamente los trabajos de Abel y Chebyshov. Después describiré la manera en que Achyeser introdujo las superficies de Riemann en el campo de los polinomios de Chebyshov. Gracias a esas herramientas, les presentare unas aplicaciones de la ecuación de Pell-Abel y investigaciones sobre la estructura de sus soluciones. Esas investigaciones se llevan a cabo junto con Andrey Bogatyrev.