Seminario Nacional de Geometría Algebraica en línea
17 y 24 de abril de 2024 a las 15:00 horas
https://www.matem.unam.mx/~lozano/eseminar.html
17 de abril
Jesús Muciño, CCM, UNAM
"Dos aplicaciones de integrales Abelianas"
Resumen:
Dada una curva algebraica, la teoría (Abel, Jacobi, Torelli) nos enseña que las integrales Abelianas de todas las 1-formas holomorfas sobre todos los ciclos, forman un objeto simple que describe/recupera la geometría de la misma curva. Nosotros consideramos familias de curvas algebraicas en C^n con familias de 1-formas meromorfas. Estudiaremos como sus integrales Abelianas describieron ciertas obstrucciones a dos problemas geométricos; un problema de perturbación de polinomios en C^2 ya la Conjetura Jacobiana en C^n (acerca de la invertibilidad de aplicaciones polinomiales).
Trabajo conjunto con L. Giraldo, A. Bustinduy (ambos en España) y S. Rebollo (Chile).
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24 de abril
Xavier Gómez-Mont, CIMAT-Guanajuato
Ahora, algebraicamente construimos un "complejo" al contraer formas diferenciales con el campo de vectores, calculamos la dimensión de los grupos de homología del complejo y hacemos la suma alternada de estas dimensiones (la característica de Euler del complejo, a la Riemann-Roch-Hirzebruch). Este número viene expresado como la suma de n+1 números (por cada grupo de homología) y se denomina el índice homológico. Afortunadamente el índice GSV y el homológico coinciden y por los tanto da un método algebraico para calcular el índice GSV (topológico).
Haciendo un poco más de álgebra homológica (un bicomplejo formado por resoluciones libres de los módulos de diferenciales) y calculando la sucesión espectral, prueba uno que, afortunadamente, excepto en los 2 extremos, todos los grupos de homología tienen la misma dimensión, los pares de hecho son isomorfos e igualmente los impares y son duales. Esto simplifica enormemente la fórmula. Por supuesto esto nos enfrenta a ¿qué miden geométricamente estos grupos de homología y por qué son isomorfos o duales? No sé la respuesta.
Si ahora trabajamos sobre los números reales, resulta que la dimensión de espacios vectoriales no es suficiente, sino que hay que considerar unas formas bilineales no-degeneradas en los espacios vectoriales y considerar la signatura de estas formas bilineales. En el caso que la dimensión n es impar, los 2 índices coinciden y tenemos una respuesta para este caso. En el caso que la dimensión n es par, entonces la diferencia de los 2 índices es un número que solo depende de la función f, no del campo de vectores X. Este número se expresa como la suma alternada de signaturas de formas bilineales que solo dependen de f. Esto también nos da la fórmula buscada. Pero, ¿cuál es el contenido geométrico de estas formas bilineales? Estamos intrigadamente indagando. Esto nos ha llevado a introducir las filtraciones en la homología dada por la Teoría de Estructuras de Hodge Mixtas y las "polarizaciones" inducidas...
Esta línea de investigación la he desarrollado conjuntamente con Seade, Verjovsky, Bonatti, Mardesic, Giraldo, Alanís, de la Rosa, González Villa, Artal, Portilla, Otto Romero y Oziel Gómez Martínez.