El problema de Bahri-Coron

Muchos problemas fundamentales de la Geometría Diferencial se plantean en términos de la existencia de soluciones de ecuaciones elípticas no lineales. Tal es el caso del problema de Yamabe o del problema de curvatura escalar prescrita. En esta plática estudiaremos un modelo sencillo de este tipo de problemas: el problema de Bahri-Coron, \[ -\Delta u=\left\vert u\right\vert ^{2^{\ast}-2}u\text{ \ en }\Omega,\text{ \ \ \ \ \ \ }u=0\text{ sobre }\partial\Omega, \] donde $\Delta$ es el operador de Laplace, $\Omega$ es un dominio suave y acotado de $\mathbb{R}^{N}$, $N\geq3,$ y $2^{\ast}:=\frac{2N}{N-2}$ (el número $2^{\ast}$ se llama el exponente crítico de Sobolev). A pesar de su sencilla apariencia, este problema ha sido fuente de nuevas ideas y ha dado lugar a interesantes problemas abiertos. El problema de Bahri-Coron posee una rica estructura geométrica: es invariante bajo el grupo de transformaciones de Möbius (es decir, bajo reflexiones en planos e inversiones en esferas). Este hecho lo hace muy interesante y difícil a la vez. Haremos un recuento de los resultados clásicos de existencia y no existencia de soluciones para este problema, y presentaremos algunos resultados recientes sobre multiplicidad de soluciones. Haremos especial énfasis en las relaciones entre Análisis, Geometría y Ecuaciones Diferenciales presentes en este problema.