Hiperboloides Cuanticos

Estudiaremos una *-álgebra no conmutativa, X, que la podemos considerar como una deformación del anillo de coordenadas O(H_s)=C[t_1,t_2,t_3]/<H_s> donde H_s={(t_1,t_2,t_3)en R^3 : (t_1)^2+(t_2)^2-(t_3-1)(t_3-s)=0}, s en el intervalo [-1,1).

El grupo SU(1,1) actúa sobre H_s como transformación de simetría y existe una medida invariante con respecto a esta acción. Si definimos un integral sobre las funciones diferenciables e integrables sobre H_s con respecto a dicha medida invariante, obtendremos un funcional que se queda invariante bajo la acción del grupo.

En la plática, formularemos esta propiedad de invarianza de la integral, mediante un funcional de funciones ´integrables' sobre X, donde la acción de SU(1,1) está remplazada por una acción de una deformación del álgebra envolvente universal, U_q(su(1,1)), del álgebra de Lie su(1,1).

Precisamente como X es considerada como una deformación del hiperboloide, y en el hiperboloide los polinomios no son integrables en él, entonces no podemos ver a los elementos de X como funciones integrables, para resolver este problema, asociaremos a X un álgebra de funciones integrables donde se tenga definida una acción de U_q(su(1,1)), por medio de *-representaciones 'admisibles'.

De esta manera, damos una solución al problema planteado, considerando representaciones (posiblemente no acotadas) de X sobre un espacio de Hilbert y asociando álgebras de operadores al hiperboloide cuántico que permitan una acción de U_q(su(1,1)), y veremos que sobre dichas álgebras existe un integral invariante dado por una traza con peso de operadores.