Caracterización del elipsoide mediante penumbras planas
Ponente: Efrén Morales Amaya
Institución: Universidad Autónoma de Guerrero
Tipo de Evento: Investigación
Institución: Universidad Autónoma de Guerrero
Tipo de Evento: Investigación
| Cuándo |
07/10/2022 de 12:00 a 13:00 |
|---|---|
| Dónde | ZOOM ID 882 9372 3602 |
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Consideremos un conjunto convexo $K\subset \mathbb{R}^n$ ($n\geq 3$) y un punto $p\in \mathbb{R}^n$. Las líneas soportes de $K$ por $p$ determinan un cono (o cilindro) denotado por $C_p$. La intersection $C_p \cap K$ es llamada la penumbra de $K$ con respecto a $p$. Las restricciones sobre las penumbras pueden ser de dos tipos:
(1) Las penumbras están contenidas en un hiperplano.
(2) Las penumbras contienen una sección de $C_p$ hecha por un hiperplano.
Un resultado tipo Blaschke especifica un $S_i\subset \mathbb{R}^n \backslash K$ ($i=1,2$) tal que la restricci\'on (i) es satisfecha para todo $p\in S_i$ y esta hipótesis es suficientemente fuerte para forzar que $K$ es un elipsoide. En el teorema clásico de Blaschke, se demuestra que el hiperplano al infinito resulta ser un $S_1$. Por otro lado, P. Gruber demostró que cierto subconjunto del hiperplano al infinito es un $S_2$. G. R. Burton probó que para $\delta>0$, el conjunto de puntos en $\mathbb{R}^n \backslash K$ cuya distancia a $K$ es menor que $\delta$ es un $S_1$.
En esta charla vamos a presentar algunas ideas en torno a la solución del caso en que $S_1$ es un cuerpo convexo en $\mathbb{R}^3$ que contiene en su interior a $K$, en su versi\'on m\'as sim\'etrica, esto es, en el caso en que tanto $K$ y $S_1$ sean centralmente simétricos y además sean concéntricos. En términos más formales podemos escribir el Teorema central de la charla en la forma
Teorema. Sean $K,L\subset \mathbb{R}^3$ dos cuerpos estrictamente convexos $O$-sim\'etricos con $L\subset K$. Supongamos que para cada punto $x\in \bd K$ la penumbra de $L$ con respecto a $x$ es una curva plana y $K$ es casi libre con respecto a $L$. Entonces $L$ es un elipsoide.
La condición \textit{$K$ es casi libre con respecto a $L$} se puede entender intuitivamente como que $\bd K$ no est\'a cerca de $\bd L$.
