Gráficas de Fullerenes de diámetro pequeño

Las primeras gráficas de fullerenes (cúbicas y planas cuyas caras son sólo pentágonos y hexágonos) de diámetro pequeño fueron construidas en 2013 por Andova y Skrekovski, donde conjeturaron que el diámetro de un fullerene con n vértices es al menos⌊√5/3 - 1⌋. La familia que construyeron para formular la conjetura tiene simetría tetraédrica completa y alcanza la cota. En 2017, Nicodemos y Stehlík refutaron la conjetura construyendo una familia infinita de gráficas de fullerenes con n vértices y diámetro √4n/3 entre las cuales el contraejemplo más pequeño a la conjetura tiene 300 vértices. Las gráficas de esta familia infinita son nanodiscos. Una búsqueda computacional exhaustiva de fullerenes hecha por Jan Goedgebeur hasta 300 vértices ha producido muchos más contraejemplos para ambas cotas, con menos vértices.El contraejemplo más pequeño tiene 118 vértices, simetría C_3v y es IPR (Isolated Pentagon Rule - tiene los pentágonos aislados, no contiguos). Hay 7 gráficas con este mismo número de vértices, pero esta es la única IPR. En la primera parte de este seminario vamos a ver una generalización de esta gráfica a una familia infinita con la misma simetría y con diámetro por debajo de ambas cotas. En la segunda parte veremos cuatro familias infinitas de gráficas de fullerenes con simetría tetraédrica con √4(n+3)/3 -1=4k+5,  √4(n+23)/3 -1=4k+5,  √4(n+8)/3 -1=4k+7 y √4(n+24)/3 -1=4k+7 que aparecen para k ≥ 0 y n=12k²+36k+20, n=12 k²+36k+4, n=12k² +48k+40 y n=12k²+48k+24 respectivamente. Comentaremos por qué estas  últimas son muy especiales.