La conjetura de Mahler en dimensión 3

Sea K un cuerpo convexo centralmente simétrico y sea K^* su dual. El volumen de Mahler de K, denotado por M(K), se define como el producto de los volúmenes de K y K^*. Este valor tiene importancia en análisis, pero ahí se suele hablar de un espacio normado en el que K representa la bola unitaria. Un problema abierto es determinar el conjunto de valores que puede tomar el volumen de Mahler de un convexo en dimensión d. El teorema de Blaschke-Santaló dice que M(K) se maximiza cuando K es la bola euclidiana, pero no se sabe qué K lo minimiza. Mahler demostró que en dimensión dos el cuadrado minimiza M(K) y conjeturó que los hipercubos y politopos cruz lo minimizan. Recientemente Iriyeh y Shibata confirmaron la conjetura en dimensión 3 utilizando una prueba muy larga. En esta plática quiero presentar las ideas que usamos para producir una demostración corta y elegante. Este trabajo es conjunto con Fradelizi, Hubard, Meyer y Zvavitc.