Una introducción al análisis de Fourier de orden superior

El análisis de Fourier estudia funciones en un grupo abeliano viendo su correlación con caracteres, que son homomorfismos de grupos y por lo tanto, en cierto sentido, son funciones lineales. El área conocida como análisis de Fourier de orden superior estudia a las funciones midiendo su correlación con análogos de polinomios de grado mayor que uno. La estructura que se encuentra de este modo en las funciones es, a grandes rasgos, que cada función es suma de (1) una parte estructurada, cuya "complejidad" está acotada, (2) una parte con norma de Gowers pequeña, indicando que tiene poca correlación con todos los "polinomios" de cierto grado, (3) y un término de error pequeño.

En el efoque de Balazs Szegedy al análisis de Fourier de orden superior, la parte (1), la parte estructurada, se describe usando nil-espacios, unas estructuras combinatorias que definimos juntos y que generalizan las nil-variedades. En esta plática describiré estas estructuras y los resultados básicos sobre ellas.